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RSA加密算法是最常用的非对称加密算法，CFCA在证书服务中离不了它。但是有不少新来的同事对它不太了解，恰好看到一本书中作者用实例对它进行了简化而生动的描述，使得高深的数学理论能够被容易地理解。我们经过整理和改写特别推荐给大家阅读，希望能够对时间紧张但是又想了解它的同事有所帮助。

RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥算法。

RSA的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大素数(100到200位十进制数或更大)的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积(这是公认的数学难题)。

RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：

可能各位同事好久没有接触数学了，看了这些公式不免一头雾水。别急，在没有正式讲解RSA加密算法以前，让我们先复习一下数学上的几个基本概念，它们在后面的介绍中要用到：

一、 什么是“素数”？

素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15=3*5，所以15不是素数;又如，12=6*2=4*3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13*1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。素数也称为“质数”。

二、什么是“互质数”（或“互素数”）？

小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”这里所说的“两个数”是指自然数。

判别方法主要有以下几种(不限于此)：

(1)两个质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。

(2)一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。

(3)1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。

(4)相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。

(5)相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。

(6)大数是质数的两个数是互质数。如97与88。

(7)小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。

(8)两个数都是合数(二数差又较大)，小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。等等。

三、什么是模指数运算？

指数运算谁都懂，不必说了，先说说模运算。模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模做模运算，即m mod n。怎样做呢?让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。例如，10 mod 3=1;26 mod 6=2;28 mod 2 =0等等。

模指数运算就是先做指数运算，取其结果再做模运算。如

好，现在开始正式讲解RSA加密算法。

算法描述：

(1)选择一对不同的、足够大的素数p，q。

(2)计算n=pq。

(3)计算f(n)=(p-1)(q-1)，同时对p, q严加保密，不让任何人知道。

(4)找一个与f(n)互质的数e，且1

(5)计算d，使得de≡1 mod f(n)。这个公式也可以表达为d ≡e-1 mod f(n)

这里要解释一下，≡是数论中表示同余的符号。公式中，≡符号的左边必须和符号右边同余，也就是两边模运算结果相同。显而易见，不管f(n)取什么值，符号右边1 mod f(n)的结果都等于1;符号的左边d与e的乘积做模运算后的结果也必须等于1。这就需要计算出d的值，让这个同余等式能够成立。

(6)公钥KU=(e,n)，私钥KR=(d,n)。

(7)加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。设密文为C，则加密过程为：

。

(8)解密过程为：

。

实例描述：

在这篇科普小文章里，不可能对RSA算法的正确性作严格的数学证明，但我们可以通过一个简单的例子来理解RSA的工作原理。为了便于计算。在以下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e，假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：

（1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。

令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33;f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20;取e=3，(3与20互质)则e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。

d怎样取值呢?可以用试算的办法来寻找。试算结果见下表：

通过试算我们找到，当d=7时，e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。因此，可令d=7。从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥(公钥)为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥(私钥)为：KR =(d,n)=(7,33)。

（2）英文数字化。

将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：

则得到分组后的key的明文信息为：11，05，25。

（3）明文加密

用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：

因此，得到相应的密文信息为：11，31，16。

(4）密文解密。

用户B收到密文，若将其解密，只需要计算

，即：

用户B得到明文信息为：11，05，25。根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key”。

你看，它的原理就可以这么简单地解释！

当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA算法的公钥私钥的长度(模长度)要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。

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