泰勒公式的推导过程(常用泰勒公式推导过程)

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  泰勒公式的推导过程为:若函数f(x)在包含x0的某个开区间(a,b)上具有(n+1)阶的导数,那么对于任一x∈(a,b),有f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)/1!+f'(x0)/2!+...+f(n)'(x0)/n!+Rn(x)。

  其中,Rn(x)=f(n+1)δ(x-x0)^(n+1)/(n+1)!,此处的δ为x0与x之间的某个值。f(x)称为n阶泰勒公式,其中,P(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...+f(n)(x0)(x-x0)^n/n!称为n次泰勒多项式。

  x0由导数的定义可知,当函数f(x)在点x0处可导时,在点x0的邻域U(x0)内恒有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0)。因为o(x-x0)是一个无穷小量,故有f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)。

  从几何上看,它是用切线近似代替曲线。然而,这样的近似是比较粗糙的,而且只在点的附近才有近似意义。为了改善上述不足,使得近似替代更加精密,数学家们在柯西中值定理的基础上,推导出了泰勒中值定理(泰勒公式)。

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